En mathématique, le raisonnement par récurrence est une méthode à utiliser pour démontrer les propriétés P(n) d’un entier naturel. Dans la vie pratique, ce principe consiste à vérifier la continuité, plus précisément l’hérédité d’une chose. S’il est un concept intriguant pour les scientifiques, ce terme est un véritable charabia pour les gens ordinaires. Pour vous expliquer davantage le principe du raisonnement par récurrence, voici quelques informations le concernant.
Comment fonctionne le raisonnement par récurrence ?
La logique du raisonnement par récurrence permet de vérifier si la propriété d’un entier naturel est valable sur les autres. Avec un résultat positif, il devrait y avoir une réaction en chaîne entre les éléments. L’exemple d’une série de dominos aligné les uns à côté des autres pourrait vous aider à comprendre ce principe. Si le raisonnement par récurrence est vérifié, toute la file s’effondre lorsque le premier domino tombe.
Pour vérifier sa logique, ce concept suit 3 étapes bien distinctes. Il démarre avec l’hérédité qui est une méthode utile pour démontrer la succession de la propriété d’un entier naturel (n). Afin d’expliquer cette théorie, prenons l’exemple du domino. Si le raisonnement par récurrence est vrai, le n vérifié va tomber. Après cela, il faut également vérifier si l’hypothèse s’applique avec d’autres entiers (n+1).
Lorsque la logique héréditaire est fausse, le domino ne s’écroulera pas. La chaîne est dans ce cas interrompue. C’est dans ce cadre que l’initialisation entre en scène. Cette étape permet de recommencer le raisonnement par récurrence depuis le début, plus précisément à partir de la plus petite valeur de n possible. Pour terminer l’hypothèse, on conclut l’analogie en confirmant que la suite est logique et valable pour tout entier naturel.
Les différents types de raisonnement par récurrence
Modèle basique et courant, le raisonnement par récurrence simple se targue de la vérification de la suite héréditaire des entiers naturels. Il consiste à prouver si la propriété d’un n est vraie ou non et si cela est valable pour les n+1. Grâce à l’analogie hérédité, la véracité d’un n se propage.
La logique de ce concept mathématique peut s’étendre bien au-delà des propriétés des n+1. Il existe en effet le raisonnement par récurrence double. Cette version est capable de vérifier que la propriété est logique pour un n+2, soit pour tous les entiers naturels n. Pour cela, elle s’appuie sur la réalisation d’une double initialisation, une méthode qui permet de vérifier la véracité de la propriété des deux premiers rangs de la proposition. Elle effectue également une analyse héréditaire sur tous les n ainsi que les valeurs qui les entourent n+1 et n+2. Pour terminer, elle conclut sa logique avec une confirmation sur la véracité de la propriété de deux plus petites valeurs de n de la proposition.
En ce qui concerne le raisonnement par récurrence forte, la méthode de vérification consiste à démontrer que la propriété P(n) est valable pour tout entier n. Elle démarre donc son analyse avec l’initialisation pour certifier que les deux plus petites valeurs de n possible possèdent une propriété logique et vraie. Après, elle effectue l’hérédité pour prouver que l’hypothèse peut s’accorder avec la valeur de n+1. Pour terminer, elle établit une conclusion pour confirmer la véracité de la propriété pour tout entier naturel.